אי־ודאות מדידה, מחושבת על קריאה אחת של מיקרומטר

מודדים ציר במיקרומטר ומקבלים מספר. מה שלא מקבלים הוא כמה רחוק המספר הזה יכול להיות מהקוטר האמיתי. המספר השני הזה הוא אי־ודאות המדידה, ובלעדיו אי אפשר להשוות את הראשון לטולרנס, למעבדה אחרת או לקריאה מהחודש שעבר.

השיטה כאן היא הסטנדרטית, מהמדריך לביטוי אי־ודאות במדידה (ה־GUM). המספרים הם דוגמה מחושבת: ציר פלדה בקוטר נומינלי של 25 מ״מ ומיקרומטר דיגיטלי שקורא עד 0.001 מ״מ.

אי־ודאות היא לא שגיאה

שגיאה היא ההפרש בין התוצאה שלכם לערך האמיתי. אף פעם לא יודעים אותה, כי אף פעם לא יודעים את הערך האמיתי. אם הייתם יודעים, הייתם מתקנים.

אי־ודאות היא הרוחב של הטווח שבו הערך האמיתי כנראה נמצא, בהינתן כל מה שידוע על איך מדדתם. את זה אפשר לחשב. כל מקור של ספק הופך לאי־ודאות תקנית u, שהיא סטיית תקן, ואז מצרפים אותן.

סוג A: מהקריאות

עשר קריאות, במ״מ: 25.012, 25.015, 25.011, 25.014, 25.013, 25.012, 25.016, 25.013, 25.012, 25.014.

הממוצע הוא 25.0132 מ״מ. סטיית התקן של המדגם היא s = 1.55 מיקרומטר. זה הפיזור של קריאה אחת. התוצאה היא ממוצע של עשר, והממוצע מתפזר פחות, פי √n:

u_A = s / √n = 1.55 / √10 = 0.49 מיקרומטר

כל מה שמוערך בסטטיסטיקה על קריאות חוזרות נקרא סוג A.

סוג B: מכל השאר

חלק מהספק לא מופיע בפיזור בכלל. אם המיקרומטר קורא מיקרומטר אחד יותר מדי, הוא קורא ככה כל פעם, ועשר קריאות מסכימות זו עם זו בדיוק מושלם על התשובה הלא נכונה. את המקורות האלה מעריכים ממידע אחר, והם נקראים סוג B.

כיול. נניח שתעודת הכיול של המיקרומטר נותנת אי־ודאות מורחבת של 2 מיקרומטר ב־k = 2. תעודות מציינות את הערך המורחב, אז מחלקים בחזרה: u = 2 / 2 = 1.00 מיקרומטר.

רזולוציה. התצוגה מראה 0.001 מ״מ, אז קריאה של 25.013 אומרת כל דבר בין 25.0125 ל־25.0135. זה חצי רוחב של 0.5 מיקרומטר, בלי שום סיבה להעדיף ערך בתוכו. להתפלגות שטוחה, מלבנית, כזו, u = חצי הרוחב / √3 = 0.5 / √3 = 0.29 מיקרומטר.

טמפרטורה. פלדה מתארכת בבערך 11.5 מיקרומטר למטר לכל קלווין. אם הטמפרטורה של החלק ידועה רק בטווח של ±2 K סביב 20 °C של הייחוס, הציר של 25 מ״מ יכול לסטות עד 25 × 11.5 × 10⁻⁶ × 2 = 0.58 מיקרומטר. שוב כהתפלגות מלבנית, u = 0.58 / √3 = 0.33 מיקרומטר.

התקציב

אי־ודאויות תקניות בלתי תלויות לא מתחברות. הריבועים שלהן מתחברים, כמו שונויות:

u_c = √(1.00² + 0.49² + 0.33² + 0.29²) = 1.20 מיקרומטר

חיבור ישיר היה נותן 2.11 מיקרומטר, וזו הגזמה, כי ממש לא סביר שארבע שגיאות בלתי תלויות ינחתו כולן בקצה הגרוע שלהן ובאותו כיוון.

אי־ודאות מורחבת והתוצאה

אי־ודאות תקנית היא סטיית תקן אחת, טווח של בערך 68 אחוז בהתפלגות נורמלית. בדרך כלל מדווחים טווח רחב יותר, מוכפל במקדם כיסוי k. עם k = 2 הטווח מכסה בערך 95 אחוז:

U = k · u_c = 2 × 1.20 = 2.4 מיקרומטר

מדווחים את התוצאה כ־d = 25.0132 ± 0.0024 מ״מ, עם k = 2, לכיסוי של בערך 95 אחוז. תמיד מציינים את k. בלעדיו הקורא לא יכול להבדיל בין טווח של 68 אחוז לטווח של 95.

מה התקציב אומר לשפר

זה החלק השימושי. כיוון שהריבועים מתחברים, האיבר הגדול ביותר שולט. מורידים את שלושת האחרים לגמרי, ו־u_c יורד רק מ־1.20 ל־1.00 מיקרומטר. זה אותו חשבון שגורם ל־RMSE להעניש החטאה גדולה אחת: ההעלאה בריבוע נותנת לתרומה הגדולה ביותר לשלוט.

אז האינסטינקט לקחת עוד קריאות כמעט לא עוזר כאן. קריאה אחת נותנת U = 3.8 מיקרומטר. עשר נותנות 2.4. מאה נותנות 2.2, הרבה עבודה נוספת בשביל כמעט כלום, כי החזרתיות אף פעם לא הייתה האיבר העיקרי.

מה שצריך לשפר הוא הכיול: מכשיר מכויל טוב יותר, או בדיקה של המיקרומטר מול בלוק מדידה בגודל ידוע רגע לפני השימוש. תקציב אי־ודאות שווה לכתוב גם כשלא מדווחים אותו אף פעם, כי הוא אומר לאן המאמץ צריך ללכת.