מודל מוכר העיתונים, מחושב על עשרה ימים של ביקוש

מוכר עיתונים קונה עיתונים בבוקר ולא יכול למכור את העיתון של אתמול. קונה יותר מדי, והשאר הולך לפח. קונה מעט מדי, ולקוחות הולכים בידיים ריקות. מודל מוכר העיתונים מוצא את כמות ההזמנה שמרוויחה הכי הרבה בממוצע, והוא חל על כל דבר עם חלון מכירה אחד: לחם, פרחים, ירקות ופירות, סחורה עונתית.

מגיל 15 עד 17 עזרתי לאבא שלי להחליט מה לקנות בשוק הסיטונאי בתל אביב פעמיים בשבוע, וכתבתי על זה ברשימה על משטח תפוחים. אף פעם לא כתבנו נוסחה. זו הנוסחה שעומדת מתחת להחלטה הזו.

הנוסחה: היחס הקריטי

שתי עלויות קובעות הכל. Cu, עלות החוסר, היא כמה עולה לכם יחידה אחת שחסרה: הרווח שלא הרווחתם. Co, עלות העודף, היא כמה עולה לכם יחידה אחת שנשארה: מה ששילמתם עליה, פחות מה שאתם מקבלים בחזרה.

רמת המלאי הטובה ביותר q* היא הכמות הקטנה ביותר שבה ההסתברות לכסות את הביקוש מגיעה ליחס הקריטי: P(D ≤ q*) ≥ Cu / (Cu + Co).

למה דווקא היחס הזה

חשבו על הוספה של עוד יחידה אחת להזמנה. היא נמכרת רק אם הביקוש גבוה מהמלאי הנוכחי, מה שקורה בהסתברות P(D > q), ואז היא מרוויחה Cu. אחרת היא נשארת, בהסתברות P(D ≤ q), ועולה Co.

ממשיכים להוסיף יחידות כל עוד הרווח הצפוי גדול מההפסד הצפוי: (1 − P(D ≤ q)) × Cu > P(D ≤ q) × Co. מסדרים מחדש, ונקודת העצירה היא בדיוק המקום שבו P(D ≤ q) מגיע ל־Cu / (Cu + Co). כל המודל הוא ההשוואה השולית הזו.

דוגמה מחושבת

נניח שהביקוש בעשרה ימים היה 6, 9, 12, 8, 15, 7, 11, 10, 13, 9, ממוצע של 10 בדיוק, וכל יום סביר באותה מידה לחזור. כל יחידה נמכרת ב־10.

קודם מוצר ברווח נמוך שעולה 6. אז Cu = 4, Co = 6, והיחס הוא 4 / 10 = 0.4. מהנתונים, P(D ≤ 8) = 0.3 לא מספיק ו־P(D ≤ 9) = 0.5 עובר אותו, אז מחזיקים 9.

אחר כך מוצר ברווח גבוה שעולה 3. עכשיו Cu = 7, Co = 3, והיחס הוא 0.7. P(D ≤ 10) = 0.6 לא מספיק ו־P(D ≤ 11) = 0.7 מגיע אליו, אז מחזיקים 11.

בדיקה בדרך הארוכה, חישוב הרווח הממוצע לכל רמת מלאי על פני עשרת הימים, נותנת את אותן תשובות:

במוצר ברווח הגבוה, 11 ו־12 שווים, שניהם 60.0. זה קורה כש־P(D ≤ q) נוחת בדיוק על היחס, כמו כאן ב־0.7: היחידה השתים־עשרה מרוויחה ומפסידה אותו סכום בממוצע. הכלל בוחר במלאי הקטן יותר, שקושר פחות כסף בשביל אותו רווח.

הוא אומר לכם להיגמר

המוצר ברווח הנמוך מחזיק 9, מתחת לביקוש הממוצע של 10. ב־5 מתוך 10 הימים הביקוש גבוה מ־9 והמלאי נגמר. זו לא טעות בתוכנית. זו התוכנית: כשיחידה שנשארה עולה יותר ממכירה שהוחמצה, המלאי הרווחי ביותר יושב מתחת לממוצע.

היחס נמוך מחצי בכל פעם ש־Co גדול מ־Cu, וזה המצב הרגיל במוצרים מתכלים ברווח דק. כלומר המדיניות הנכונה נגמרת מהמלאי ברוב הימים. יש לזה תופעת לוואי לכל מי שחוזה ביקוש מתוך מכירות: בכל יום שהמלאי נגמר, הרישום מראה את המלאי שלכם, לא את הביקוש. חישבתי מה זה עושה לנתונים ברשימה על ביקוש מצונזר.

ערך שארית

אם אפשר למכור את מה שנשאר בזול, או להפוך אותו למשהו אחר, עלות העודף יורדת. נניח שאת המוצר שעולה 6 אפשר לחסל ב־3 בסוף היום. אז Co = 6 − 3 = 3, Cu נשאר 4, והיחס עולה ל־4 / 7 ≈ 0.571.

עכשיו P(D ≤ 9) = 0.5 לא מספיק ו־P(D ≤ 10) = 0.6 עובר אותו, אז המלאי עולה מ־9 ל־10. הרווח הממוצע ב־10 הוא 32.3, לעומת 31.8 ב־9. דרך להציל את מה שנשאר שווה יותר מלאי, וזה החשבון שמאחורי הפיכה של פירות שלא נמכרו לריבה.

עם התפלגות נורמלית

כשיש יותר היסטוריה, מקובל למדל את הביקוש כנורמלי, עם ממוצע μ וסטיית תקן σ. הכלל הופך ל־q* = μ + zσ, כש־z היא הנקודה על העקומה הנורמלית הסטנדרטית שמתחתיה נמצא היחס הקריטי.

לעשרת הימים יש μ = 10 וסטיית תקן מדגמית של σ = 2.79. ליחס 0.4, z = −0.253 ו־q* = 10 − 0.253 × 2.79 = 9.29. ליחס 0.7, z = 0.524 ו־q* = 11.46. אחרי עיגול, אותם 9 ו־11 שהנתונים נתנו.

הגרסה הנורמלית נוחה, אבל היא טובה רק כמו μ ו־σ. אם הם הוערכו ממכירות בימים שבהם המלאי נגמר, שניהם קטנים מדי, והנוסחה תמליץ בביטחון על מעט מדי.